\begin{exercises}

\exercise 证明转动惯量的平行轴定理：绕任何轴的转动惯量，等于
绕通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上物体的总质量乘
以两轴间距的平方。用公式表示为
\begin{equation*}
  I = I _ { c } + m r ^ { 2 }
\end{equation*}

\exercise 证明适用于薄的平面刚体的垂直轴定理：一个平面刚体薄
板，对于垂直板面某轴的转动惯量，等于绕平面内与该垂直轴相
交的任意两个正交轴的转动惯量之和。用公式表示为
\begin{equation*}
  I _ { z } = I _ { x } + I _ { y }
\end{equation*}

\exercise ~(1) 证明一条质量为$ m $、长为$ l $的均匀细杆，绕通过其中
心且垂直于杆身的轴的转动惯量为
\begin{equation*}
  I _ { c } = \frac { 1 } { 1 2 } m l ^ { 2 }
\end{equation*}

(2)用平行轴定理证明这杆绕通过其一端且垂直于杆身的转
动惯量为$ I = \dfrac { 1 } { 3 } m l ^ { 2 } $。

\exercise 证明边长分别为$ a $和$ b $的矩形薄板，绕通过其中心且垂直
于板面的轴的转动惯量为$ I _ { c } = \dfrac { 1 } { 1 2 } + m \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right) $，其中$ m $为板的质量。
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\clearpage
\exercise 边长分别为$ a $和$ b $的矩形薄板，质量为$ m $。现在中间挖去
一个边长为$ c $的正方形。绕通过其几何中心且与板面垂直的轴的
转动惯量是多少？

\exercise 在上题中，如果中间挖去的不是正方形，而是一个半径为
$ r $的圆形，则转动惯量$ I $又为多少？

\exercise 两个小球的质量分别为$ m _ { 1 } = 4 0 $克和$ m _ { 2 } = 1 2 0 $克，固定在一
条质量可忽略的轻棒的两端，棒长$ l = 2 0 $厘米。分别求出这系统对
于下列两轴的转动惯量。

(1)通过细棒的中心且垂直于棒；

(2)通过系统的质心且垂直于棒。

\exercise 求质量为$ m $、内半径为$ R_1 $、外半径为$ R_2 $的中空圆柱体对它
的几何对称轴的转动惯量。

\exercise 求质量为$ m $、半径为$ R $的薄圆盘对通过其直径的轴的转动
惯量。

\exercise 求质量为$ m $、半径为$ R $、厚为$ h $的圆盘，对通过质心且平
行于盘面的轴的转动惯量。

\exercise 门的宽度为$ 0.8 $米，质量为$ 5 $公斤，用手在离门轴$ 0.7 $米
\begin{wrapfigure}[6]{r}{12em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig10.25}
  \caption{}
  \label{fig:10.25}
\end{wrapfigure}
处以$ 5.0 $牛顿的力推门，力的方
向与门的板面垂直，求门的角加
速度$ \beta $。

\exercise 一个均匀的球沿着与水
平面成$ \alpha $角的斜面无滑动地滚下
(图\ref{fig:10.25}) ，求球心的加速度$ \alpha $。

\exercise 一转动的飞轮，由于轴承摩擦力的作用，在$ 5 $秒钟内转
速由$ 900 $转/分减为$ 800 $转/分。求角加速度$ \beta $和$ 5 $秒内的转数问
再经几秒后飞轮停止转动？

\exercise 如图\ref{fig:10.26} 所示，在质量为$ M $、半径为$ R $的圆柱形滑轮上
缠绕细绳，绳一端挂有质量为$ m $的小物体，$ m $由高$ h $处从静止状态
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下落。设绳不可伸长，滑轮与轴之间无摩擦。求$ m $达到地面时的
速度$ v $。
\begin{figure}[h]
  \begin{minipage}[b]{0.4\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig10.26}
    \caption{}
    \label{fig:10.26}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[b]{0.4\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig10.27}
    \caption{}
    \label{fig:10.27}
  \end{minipage}
\end{figure}

\exercise 如图\ref{fig:10.27} 中所示，质量为$ m _ { 1 } $的物体以细绳绕过定滑轮
拉质量为$ m _ { 2 } $的物体运动。滑轮半径为$ R $，质量为$ M $，其质量集中在
轮的边沿，$ m_2 $与平面间的摩擦系数为$ \mu $。设绳长不变，绳的质量
和滑轮与轴间的摩擦力都可略去不计。求绳中的张力$ T, T' $及$ m_1, m_2 $
的加速度$ a $。

\exercise 有一绕线圆盘，半径为$ R $，质量为$ m $，在其本身重量作用
下滚落，线的上端拴在天花板上，如图\ref{fig:10.28} 所示。求圆盘中心
\begin{wrapfigure}[8]{r}{13em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig10.28}
  \caption{}
  \label{fig:10.28}
\end{wrapfigure}
下落的加速度$ a $和绳中的张力$ T $
(设绳不可伸长，绳质量可略去)。

\exercise 一质量为$ 10 $公斤，等分
$ 20 $级的梯子，以$ 60^\circ $的倾角架在
一面光滑的墙上，如图\ref{fig:10.29} 所
示。当一个体重为$ 60 $公斤的人沿
梯子向上爬到第$ 15 $级的时候，

\clearpage\noindent
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\begin{wrapfigure}[12]{r}{11em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig10.29}
  \caption{}
  \label{fig:10.29}
\end{wrapfigure}
梯子开始滑动，求这时地面给梯子的摩
擦力$ f $。

\exercise 从高为$ h $的山顶上滚下一个
半径为R质量为$ m $的石滚子，只滚不
滑，求它到达山底时的速度$ v $。

\exercise 车床转速为$ 1,000 $转/分，功
率为$ 9.4 $千瓦，工作直径为$ 5.0 $厘米
问车刀克服的阻力f有多大？

\exercise 有一滑轮组如图\ref{fig:10.30} 所示，
两滑轮$ A $和$ B $的质量都是$ m $，半径都
是$ R $。滑轮$ A $可以随重物$ M $的下降而
上升。设绳子与滑轮之间无滑动，绳
长不变，绳子质量不计。分别求出$ M $下降的加速度$ a $和各段绳中
的张力$ T _ { 1 } , T _ { 2 } , T _ { 3 } $。

\begin{figure}[h]
  \begin{minipage}[b]{0.4\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig10.30}
    \caption{}
    \label{fig:10.30}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[b]{0.6\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig10.31}
    \caption{}
    \label{fig:10.31}
  \end{minipage}
\end{figure}

\exercise 一质量为$ M = 1 0 $公斤、半径为$ R = 2 0 $ 厘米的圆柱体，用绳
子系住它的轴，此绳跨过一质量为$ m _ { 1 } = 2 . 0 $公斤、半径为 $ r = 1 0 $厘
米的定滑轮，在绳的下端悬一质量为$ m = 5 . 0 $公斤的重物，如图
\ref{fig:10.31} 所示。设绳长不变，绳的质量及滑轮的轴间摩擦都可忽略
不计。当圆柱体沿桌面作纯滚动时，求：

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\clearpage
(1) 重物的加速度$ a $；

(2) 绳的张力$ T _ { 1 } , T _ { 2 } $。

\begin{wrapfigure}[8]{r}{11em}
  \vspace{-1em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig10.32}
  \caption{}
  \label{fig:10.32}
\end{wrapfigure}
\exercise 长为$ 2a $的匀质细棒$ AB $，以铰
链固结于$ A $点，起初它在水平位置静
止不动。当放开$ B $端，棒绕$ A $点转至
竖直位置时，铰链自动脱落，棒变为
自由落体。在以后的运动中，它的重
心$ C $走一抛物线抛迹，而棒本身则绕
重心$ C $转动试问当它的重心从$ C $位
置下降$ h $距离时，棒共转了几转？

\exercise 质量为$ k = 0 . 5 0$公斤的圆盘，直径为$ d = 4 0 $厘米，绕几何
轴转动；转速为$ n = 1,500 $转/分，欲使其在$ t = 2 0 $秒内停止，求制
动它的力矩。

\exercise 高为$ h = 5 . 0 $米的均匀细杆$ AB $，垂直插在地面上，因为根
部$ A $被锯断而倒向地面，求：

(1) 顶端$ B $到达地面时的线速度$ v_B $；

(2) 如果杆倒在地面时，它上面某点的速度恰如一物体从和
这点同样高度自由下落时的速度一样，求这点到$ A $点的距离$ y_H $。

\exercise 一个均匀球体和一个均匀圆柱体，具有相同的质量和半
径，沿同一斜面同时由静止开始向下动，只滚不滑，且起点在
同样的高度。哪个先到达下端？如果与一个无摩擦下滑的质点比
较，三者哪个下来得最快？哪个最慢？

\exercise 有以下四种球

(1)均匀实心钢球，半径为$ v = 5 . 0 $厘米；

(2)均匀实心塑料球，半径$ R = 1 0 . 0 $厘米；

(3)均匀钢球壳，半径$ r = 5 . 0 $厘米；

(4)均匀塑料球壳，半径$ R = 1 0 . 0 $厘米。\\
它们从同一斜面的同一高度$ h $同时由静止液下，斜面倾角为$ \alpha $，
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球只滚不滑。求各球的质心加速度$ a _ { c } $；各球到斜面底部时的速度
$ v _ { c } $及球滚动的角速度。

\exercise 半径$ R = 1 0 $厘米、重量为$ P $的实心圆柱体以 $ \omega _ { 0 } = 1 0 $转/秒
的角速度绕几何轴旋转。把这个旋转着的圆柱体放到水平桌面
上，任其运动，于是它开始在桌面上连滚带滑。设圆柱体与桌面
间的滑动康擦系数为$ \mu = 0 . 1 0 $ 。问要经过多长时间$ t $后，圆柱体的
运动才能变成纯滚动？

\exercise 用手在不光滑的桌面上($ \mu \ne 0 $) 压一匀质的刚性球，使球
在桌面上开始连滚带滑，球心速度向右，速率为$ v _ { 0 } $，球向左绕其质
心以$ \omega _ { 0 } $旋转，如图\ref{fig:10.33} 所示。问 $ \omega _ { 0 } $与$ v _ { 0 } $之间满足什么条件，球
向右走了一段之后会向左滚着回来(这称之为“来去”)？又在什
么条件下，球会在向左行进的某时，同时停止又停转？再在什么
条件下，球会变为向右的纯滚动？

\begin{figure}[h]
  \begin{minipage}{0.4\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig10.33}
    \caption{}
    \label{fig:10.33}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}{0.6\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig10.34}
    \caption{}
    \label{fig:10.34}
  \end{minipage}
\end{figure}

\exercise 一圆柱体从倾角为$ \alpha $的固定斜面上自由下落(图\ref{fig:10.34}) ，
斜面的摩擦系数至少应为多大，才会使圆柱体无滑动地纯滚动下
来？

\end{exercises}
